Теорема не требующая доказательств: ТЕОРЕМА

Содержание

ТЕОРЕМА — это… Что такое ТЕОРЕМА?

Теорема Лёба — Теорема Лёба теорема в математической логике о взаимосвязи между доказуемостью утверждения и самим утверждением. Установлена математиком Мартином Хуго Лёбом в 1955 году. Теорема Лёба гласит, что во всякой теории, включающей аксиоматику… … Википедия

ТЕОРЕМА — (от греч. theoreo – рассматриваю) научное положение. Философский энциклопедический словарь. 2010. ТЕОРЕМА (греч. ϑεώρημα, от ϑεωρέω – рассматриваю, исследу … Философская энциклопедия

ТЕОРЕМА — Пифагора. Жарг. шк. Шутл. Учительница математики. ВМН 2003, 131. Теорема Пофигатора. Жарг. шк. Шутл. Теорема Пифагора. ВМН 2003, 108. Теорема Фаллоса. Жарг. студ. (матем.). Шутл. Теорема Фалеса. (Запись 2003 г.). Теорема хана банаха. Жарг. студ.… … Большой словарь русских поговорок

теорема — См … Словарь синонимов

ТЕОРЕМА — (греч. theorema от theoreo рассматриваю), в математике предложение (утверждение), устанавливаемое при помощи доказательства (в противоположность аксиоме). Теорема обычно состоит из условия и заключения. Напр., в теореме: если в треугольнике один… … Большой Энциклопедический словарь

ТЕОРЕМА — ТЕОРЕМА, утверждение или предложение, которое доказывается логическими рассуждениями, основанными на фактах и АКСИОМАХ. см. также ВЕЛИКАЯ ТЕОРЕМА ФЕРМА … Научно-технический энциклопедический словарь

ТЕОРЕМА — ТЕОРЕМА, теоремы, жен. (от греч. theorema, букв. зрелище) (научн.). Положение, справедливость которого устанавливается путем доказательств, основанных на аксиомах или на других, уже доказанных положениях (мат.). Доказать теорему. Пифагорова… … Толковый словарь Ушакова

ТЕОРЕМА — «ТЕОРЕМА» (Теогеmа) Италия, 1968, 100 мин. Философская драма. Возможно, одна из самых противоречивых картин в истории мирового кино. Она вызвала взаимоисключающие трактовки, нападки на режиссера слева и справа, расколола представителей Ватикана… … Энциклопедия кино

Теорема Бёма — Якопини положение структурного программирования, согласно которому любой исполняемый алгоритм может быть преобразован к структурированному виду, то есть такому виду, когда ход его выполнения определяется только при помощи трёх структур… … Википедия

теорема — ы, ж. Следуя логике лотмановского подхода к искусству можно предложить понятие эротемы как структурно тематической единицы эроса (термин образован с тем же французским суффиксом ем , что и другие обозначения структурных единиц языка: лексема,… … Исторический словарь галлицизмов русского языка

Что такое Аксиома и Теорема? Определение, примеры, доказательства.

Понятие аксиомы

Аксиома — это правило, которое считают верным и которое не нужно доказывать. В переводе с греческого «аксиома» значит принятое положение — то есть взяли и договорились, что это истина, с которой не поспоришь.

Аксиоматический метод — это подход к получению знаний, при котором сначала разрабатывают аксиомы, а потом с их помощью формулируют новые теории.

Синоним аксиомы — постулат. Антоним — гипотеза.

Основные аксиомы евклидовой геометрии

Через любые две точки проходит единственная прямая.

Каждая точка на прямой разбивает эту прямую на две части так, что точки из разных частей лежат по разные стороны от данной точки. А точки из одной части лежат по одну сторону от данной точки.

На любом луче от его начала можно отложить только один отрезок, равный данному.

Отрезки, полученные сложением или вычитанием соответственно равных отрезков — равны.

Каждая прямая на плоскости разбивает эту плоскость на две полуплоскости. При этом если две точки принадлежат разным частям, то отрезок, который соединяет эти две точки, пересекается с прямой. Если две точки принадлежат одной части, то отрезок, соединяющий эти точки, не пересекается с прямой.

От любого луча на плоскости в заданную сторону можно отложить только один угол, который равен данному. Все развернутые углы равны.

Углы равны, если они получились путем сложения или вычитания соответственно равных углов.

Учить наизусть эти аксиомы не обязательно. Главное — помнить о них и держать под рукой, чтобы при доказательстве теоремы сослаться на одну из них.

А теперь давайте рассмотрим несколько аксиом из геометрии за 7 и 8 класс.

Самая известная аксиома Евклида — аксиома о параллельных прямых. Звучит она так:

Это значит, что если дана прямая и любая точка, которая не лежит на этой прямой, то через неё можно провести только одну единственную прямую, которая будет параллельна этой первой данной прямой.

У этой аксиомы два следствия:

прямая, которая пересекает одну параллельную прямую, обязательно пересекает и другую;
если две прямые параллельны третьей, то между собой они также параллельны.

Аксиома Архимеда заключается в том, что, если отложить достаточное число раз меньший из двух отрезков, то можно покрыть больший из них. Звучит так:

Если на прямой есть меньший отрезок А и больший отрезок B, то, можно сложить А достаточное количество раз, чтобы покрыть B.

На картинке можно увидеть, как это выглядит:

Из этого следует, что не существует бесконечно малых и бесконечно больших величин. В качестве математической формулы аксиому можно записать так: А + А + … + А = А * n > В, где n — это натуральное число.

Понятие теоремы

Что такое аксиома мы уже поняли, теперь узнаем определение теоремы.

Теорема — логическое следствие аксиом. Это утверждение, которое основано на аксиомах и общепринятых утверждениях, которые были доказаны ранее, и доказывается на их основе.

Состав теоремы: условие и заключение или следствие.

Среди теорем выделяют такие, которые сами по себе не используются в решениях задач. Но их используют для доказательства других теорем.

Лемма — это вспомогательная теорема, с помощью которой доказываются другие теоремы. Пример леммы: если одна из двух параллельных прямых пересекает плоскость, то и вторая прямая тоже пересекает эту плоскость.

Следствие — утверждение, которое выводится из аксиомы или теоремы. Следствие, как и теорему, необходимо доказывать.

Примеры следствий из аксиомы о параллельности прямых:

если прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую;
если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны.

Доказательство теоремы — это процесс обоснования истинности утверждения.

Каждая доказанная теорема служит основанием доказательства для следующей теоремы. Именно поэтому так важно изучать геометрию последовательно, переходя от аксиом к теоремам.

Способы доказательства геометрических теорем

Синтетический или синтез — метод, при котором данное предложение выступает, как необходимое следствие другого, уже доказанного.
Аналитический или анализ — обратный синтезу способ. Рассуждения всегда начинаются с доказываемой теоремы и закачиваются другой известной истиной.

Часть аналитического способа — доказательство от противного, когда для доказательства данного предложения убеждают в невозможности предположения противоположного.

Приемы для доказательства в геометрии:

Способ наложения — когда одну геометрическую величину накладывают на другую. Этим способом убеждаются в равенстве или неравенстве геометрических протяжений в зависимости от того, совмещаются они или нет при наложении.

Способ пропорциональности — применение свойств пропорций. Этот способ пригодится для доказательства теорем про подобные фигуры и пропорциональные отрезки.
Способ пределов — когда вместо данной величины берут свойства другой, близкой к ней. А потом перекладывают эти выводы на исходные данные.

Обратная теорема — это такой перевертыш: в ней условие исходной теоремы дано заключением, а заключение — условием.

Прямая и обратная теорема взаимно-обратные. Например:

прямая теорема: в треугольнике против равных сторон лежат равные углы.
обратная теорема: в треугольнике против равных углов лежат равные стороны.

В первой теореме данное условие — это равенство сторон треугольника, а заключение — равенство противолежащих углов. А во второй всё наоборот.

Противоположная теорема — это утверждение, в котором из отрицания условия вытекает отрицание заключения.

Вот, как выглядит взаимное отношение теорем на примере:

Прямая: если при пересечении двух прямых третьей соответственные углы равны, то данные прямые параллельны.
Обратная: если две прямые параллельны, то при пересечении их третьей, соответственные углы равны.
Противоположная: если при пересечении двух прямых третьей соответственные углы не равны, прямые не параллельны.
Обратная противоположной: если прямые не параллельны, соответственные углы не равны.

В геометрическом изложении достаточно доказать только две теоремы, тогда остальные справедливы без доказательства.

Доказательство через синтез

Рассмотрим пример синтетического способа доказательства.

Теорема: сумма углов треугольника равна двум прямым.

Дан треугольник: ABC. Нужно доказать, что A + B + C = 2d.

Доказательство:

Проведем прямую DE, так чтобы она была параллельна AC.

Сумма углов, лежащих по одну сторону прямой, равна двум прямым, следовательно, α + B + γ = 2d.

Так как α = A, γ = C, то заменим в предыдущем равенстве углы α и γ равными им углами: A + B + C = 2d. Что и требовалось доказать.

Здесь исходным предложением в цепи доказательств выбрана теорема о сумме углов, которые лежат по одну сторону прямой. Есть связь с теоремами о равенстве углов накрест-лежащих при пересечении двух параллельных третьею косвенною. Доказываемая теорема есть необходимое следствие всех предложенных теорем и является в цепи доказательств последним заключением.

Доказательство через анализ

Рассмотрим пример аналитического способа доказательства.

Теорема: диагонали параллелограмма пересекаются пополам.

Дан параллелограмм: ABCD.

Доказательство:

Если диагонали пересекаются пополам, то треугольники AOB и DOC равны.

Равенство же треугольников AOB и DOC вытекает из того, что AB = CD, как противоположные стороны параллелограмма и ∠α = ∠γ, ∠β = ∠δ, как накрест-лежащие углы.

Таким образом мы видим, что последовательно данное предложение заменяется другим и такое замещение совершается до тех пор, пока не дойдем до уже доказанного предложения.

Теоремы без доказательств

Теорема Пифагора: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Доказательств может быть несколько. Одно из них звучит так: если построить квадраты на сторонах прямоугольного треугольника, то площадь большего из них равна сумме площадей меньших квадратов. На картинке понятно, как это работает:

Теорема косинусов: квадрат одной стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними. В виде формулы это выглядит так:

где a, b и c — стороны плоского треугольника,

α — угол напротив стороны а.

Следствия из теоремы косинусов:

при b² + c² – a² > 0 угол α будет острым;
при b² + c² – a² = 0 угол α будет прямым, что соответствуем теореме Пифагора;
при b² + c² – a² < 0 угол α будет тупым.

Теорема синусов: стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

Формула:

где a, b, c — стороны треугольника,

α, β, γ — углы, которые находятся на противоположных сторонах.

Понятия свойств и признаков

У нас есть список аксиом и мы уже знаем, что такое теорема и как ее доказывать. Есть два типа утверждений среди теорем, которые часто встречаются при изучении новых фигур: свойства и признаки.

Свойства и признаки — понятия из обычной жизни, которые мы часто используем.

Свойство — такое утверждение, которое должно выполняться для данного типа объектов. У ноутбука есть клавиатура — это свойство есть у каждого ноутбука. А у электронной книги такого свойства нет.

Примеры геометрических свойств мы уже знаем: у квадрата все стороны равны. Это верно для любого квадрата, поэтому это — свойство.

Такое свойство можно встретить у другого четырехугольника. И клавиатура может быть на других устройствах, помимо ноутбука. Из этого следует, что свойства не обязательно должны быть уникальными.

Признак — это то, по чему мы однозначно распознаем объект.

Звезды в темном небе — признак того, что сейчас ночь. Если человек ходит с открытым зонтом — это признак того, что сейчас идет дождь. При этом ночью не обязательно должны быть видны звезды, иногда может быть облачно. Значит это не свойство ночи.

А теперь вернемся к геометрии и рассмотрим четырехугольник ABCD, в котором AB = BD = 10 см.

Является ли равенство диагоналей признаком прямоугольника? У такого четырехугольника, где AB = BD, диагонали равны, но он не является прямоугольником. Это свойство, но не его признак.

Но если в четырехугольнике противоположные стороны параллельны AB || DC и AD || BC и диагонали равны AB = BD, то это уже верный признак прямоугольника. Смотрите рисунок:

Иногда свойство и признак могут быть эквивалентны. Лужи — это верный признак дождя. У других природных явлений не бывает луж. Но если приходит дождь, то лужи на асфальте точно будут. Значит, лужи — это не только признак, но и свойство дождя.

Такие утверждения называют необходимым и достаточным признаком.

Что такое «теорема без доказательства 7 букв

Ответы на сканворды и кроссворды

Аксиома

Что такое «теорема без доказательства 7 букв

НАЙТИ

Разница между аксиомой и теоремой

Ключевое отличие: Аксиома и теорема — это утверждения, которые чаще всего используются в математике или физике. Аксиома — это утверждение, которое принимается за истину. Это не нужно доказывать. Теорема, с другой стороны, является утверждением, которое было доказано.

Аксиома и теорема — это утверждения, которые чаще всего используются в математике или физике. Аксиома — это утверждение, которое принимается за истину. Это не нужно доказывать. Теорема, с другой стороны, является утверждением, которое было доказано.

Согласно Dictionary.com, аксиома определяется как:

Самоочевидная истина, не требующая доказательств.
Общепризнанный принцип или правило.
Логика, Математика. Утверждение, которое предполагается без доказательства ради изучения последствий, вытекающих из него.

По сути, аксиомы — это предположения, которые не нужно доказывать. Они обычно принимаются как истинные, либо потому, что в них нет противоречий, либо потому, что мы, очевидно, знаем, что это правда. Аксиома слова происходит от греческого слова, которое означает «то, что считается достойным или подходящим» или «то, что оценивается как очевидное». Аксиома может иногда использоваться взаимозаменяемо с постулатом или предположением.

Теорема, с другой стороны, нуждается в доказательстве. Dictionary.com определяет теорему как:

Математика. Теоретическое суждение, утверждение или формула, воплощающие что-то, что нужно доказать из других суждений или формул.
Правило или закон, особенно тот, который выражается уравнением или формулой.
Логика. Предложение, которое может быть выведено из предпосылок или предположений системы.
Идея, убеждение, метод или утверждение обычно принимаются как истинные или стоящие без доказательств.

Теорема — это утверждение, которое было доказано путем тестирования или расчета. Это может быть доказано на основе теорем, которые были ранее доказаны или на основе аксиом. Теоремы состоят из двух частей: гипотезы и выводы.

Аксиомы не доказываются. А как насчёт обосновываются?

Систематизация и связи

Ссылка на философа, ученого, которому посвящена запись:

Четыре непонятности (моего личного недогоняния).

1. В теме А.Болдачева «Истинность, аксиомы и доказательства теорем» лишь немного уделяется вопросу о том нужно ли обосновывать (пусть даже в самом общем виде) введение в логическую систему именно такой, а не иной аксиомы (аксиом). То есть, на каких основаниях введены именно такие аксиомы? Ещё точнее — надо ли определять цель с которой формулируются аксиомы?

2. Вообще говоря, можно начинать построение теоретической части какой-либо дисциплины с формулировки аксиом под самым общим понятием того, что мы подразумеваем под обоснованием. Например, можно прямо так и говорить: Давайте, друзья, [перед тем как разливать], сформулируем вот такие аксиомы и посмотрим что из этого получится! Обещаю сюрприз! Во всяком случае, после пятой рюмашки!

3. Ладно, черт с ним — с ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫМ обоснованием. Хорошо. Но нужен ли хотя бы философский анализ ПОСЛЕ? Полезен ли он? Надо ли вернуться к анализу аксиом на предмет их обоснованности ПОСЛЕ того, как теоретическая часть логической системы выстроена, куча теорем доказана, и даже когда теория нашла своё применение на практике? У Болдачева выходит как-то так: «аксиомы не требуют доказательства и обоснований. тчк.», что мне почему-то напоминает рассказ Чехова, где женщина говорит следователю: «жила только с вами и больше ни с кем».

4. Кроме того факта, что аксиомы не требуют доказательств, надо ли ещё указать что-то без частицы «не»? То есть, хотелось бы получить от нашего Всевышнего хоть какую-то рекомендацию положительного свойства. Например, можно ли (рекомендуется ли) закладывать в аксиомы некие очевидные вещи чтобы они (эти очевидности) получили выпуклую формулировку, то есть чтобы было понятно, что без их принятия дальнейшее вникание в построение теории будет мартышкиным трудом. Отсюда и противоположный вопрос — следует ли считать нормальным (по умолчанию), если в аксиому вкладывается нечто противоположное очевидности (мой любимый пример — существование избушки на курьей ножке с Бабой-Ягой)? В этом случае тоже не требуется никакого пояснения — ни до формирования теории, ни анализа аксиом — после?

Почему аксиома не требует доказательства? – ПОЧЕМУХА.РУ ответы на вопросы.

В основе любой теории лежит какой-нибудь незыблемый постулат. Это та база, которая не требует доказательств, и в рамках данной теории принимается безоговорочно. Это и есть аксиома-постулат, не требующий доказательств. Понятно, что с этим можно и поспорить. Ведь любую, даже самую правдивую теорию, можно подвергнуть сомнению. Но при таком проходе создать целый ряд наук было бы просто невозможно. Не было бы той же евклидовой геометрии, которая базируется на пятом постулате, а также других наук. К тому же, никакую теорему доказать без аксиомы невозможно. Этот постулат необычайно важен, так как именно на него опирается любое доказательство. Без аксиомы любое утверждение нуждалось бы в доказательстве, и этот процесс был бы бесконечным. Чтобы этого не произошло, нужно отдельные утверждения выставлять в качестве аксиомы, и принимать без доказательства.

Другое дело, как относиться к этим аксиомам. Их можно либо принять, либо отвергнуть. То есть, в данном случае мы говорим об истинности аксиом. Но это уже совершенно другой вопрос, который решается в рамках каждой отдельной теории.

В научных кругах есть такой термин, как степень аксиоматизации теории. Он отражает количество аксиом, которым подчинены отношениям между всеми изучаемыми в данной теории объектами. Все дальнейшие теоремы и утверждения должны базироваться на этих аксиомах. Что касается набора аксиом, то он выбирается, исходя из чисто логических рассуждений, которые не должны вступать в противоречия друг с другом.

Математик Курт Гедель доказал, что математических аксиомных систем может быть сколько угодно. На их основании большинство математических утверждений невозможно ни доказать, ни опровергнуть. При этом такая система ни в коем разе не будет противоречивой. Свой труд Гедель назвал «теоремой о неполноте».

Первым аксиомы стал использовать Аристотель. Присутствуют они в математических учениях Древних Греков, а также в математике Евклида. Древние ученые считали аксиому очевидной истиной, не нуждающейся в доказательстве. Аналогичным образом интерпретирует понятие аксиомы и Даль.

Все изменилось с появлением геометрии Лобачевского. Он попытался опровергнуть некоторые аксиомы Евклида в научном труде, который получил название неевклидова геометрия. Так, например, он высказывал мнение, что пятый постулат Евклида, касающийся непересекающихся параллельных прямых, является всего лишь частным случаем, и не может быть использован для пространства с «отрицательной кривизной».

Так, или иначе, но пятый постулат Евклида оказался аксиомой, принятой за основу без доказательств. Это говорит о том, что его не следует доказывать, так как это приведет к возникновению целого ряда противоречий. Пусть пятый постулат и вызывал у Лобачевского определенные сомнения, но именно на его основе была построена геометрическая система Евклида.

Идеи Лобачевского также не были оставлены без внимания. Они получили свое развитие в новом виде непротиворечивой геометрии, которая получила название геометрии Лобачевского. Она также базируется на математической системе аксиом.

Аксиоматизацию математики выполнял и Гильберт. Он считал, что это необходимо сделать для доказательства ее непротиворечивости. Осуществить задуманное он так и не смог, ввиду появления теорем Геделя о «неполноте». Но это уже иная история.

«А если не получится?»: как побороть страх неуверенности в своих силах?

Вопрос «А если не получится?» останавливает 90% новых проектов, не позволяет раскрыться потенциалу 50% талантливых людей и тормозит прогресс. Что же с этим делать?

Большое количество людей руководствуются правилом: «Тише едешь, дальше будешь», или «Лучше синица в руках, чем журавль в небе». Скажу однозначно — все люди правы. Только лишь вы знаете, что для вас легче и лучше: замерзать на ветке с синицей или летать в небе с журавлями!

Для тех, кто принял решение в пользу второго утверждения, ниже изложена моя жизненная философия и вариант того, как побороть страх «А если не получится?»

Как побороть лень и начать действовать: точный алгоритм для мозга

к оглавлению ↑

Как побороть страх: «А если не получится?»

Достижение цели — это наука, точно такая же как физика или математика, и в ней так же есть формулы! При правильном соблюдении алгоритмов достижение цели становится лишь вопросом времени!

Кстати, время — это единственная единица измерения в этой схеме, которую сложно (а иногда и невозможно) прогнозировать. Дело в том, что у временного фактора много переменных, пытаясь просчитать которые, вы рискуете не получить желаемого. Как в математике, так и в науке достижения существуют два типа задач: аксиомы и теоремы!

Будет ли успех? А вдруг не получится? Решать только вам. Верьте в себя и в свои силы как в аксиому!к оглавлению ↑

Аксиома — это гипотеза, не требующая доказательств

Вы же, надеюсь, согласны с тем, что 2+2=4? Да? Супер! Тогда вопрос следующий: а почему вы так уверены? Потому что, какой-то человек неизвестно сколько тысяч лет так сказал? Самое смешное, что вам этого достаточно!

Так почему же вы сомневаетесь в том, что можете получить такие же результаты, как и люди, которые уже достигли этого? Все очень просто:

берем исходные данные человека, уже достигшего успеха на том поприще, которое вам по душе;
изучаем шаги, которые он совершал;
помним о временном факторе — он непредсказуем.
И все — наслаждайтесь лаврами победителя!

Личностный кризис: страшная пропасть или лестница к успеху?

к оглавлению ↑

Теорема — это враг развития

Другое дело — теорема! Это второй путь развития. Более сложный, но и более индивидуальный. Он предполагает, что вы сами создадите что-то из ничего. Как и в случае с аксиомой — этот путь доступен каждому. Просто тут у вас появляется возможность создать что-то свое, неповторимое и стать новатором!

Какой из двух путей выбрать — личное дело каждого. Это дело вкуса и предпочтений. Одни люди хотят успеха и славы в кратчайшие сроки и с минимальными усилиями, а другие жаждут звания новатора. И те, и другие полностью правы!

Самый главный нюанс во всей этой науке — это знак «=» (знак равно). Этот знак обозначает, что вне зависимости от выбранного пути и жизненных обстоятельств, вам придется действовать. И несмотря ни на что идти до конца! Этот путь гарантирует вам успех!

Дело в том, что страх «А если не получится?» относится к группе умственно-жевательных. То есть он не имеет ничего общего с истиной и не отталкивается ни от каких объективных факторов! Это просто проявление вашей неуверенности в себе, которую разрушить может только результат и, как следствие, вера в себя!

Доказательство теоремы Пифагора Евклидом — Написание антологии

Доказательство теоремы Пифагора Евклидом

Кэтрин Лоу ’18

MATH-386: Семинар по математике

Статья Катерины представляет собой очень подробное изложение доказательства Евклида теоремы Пифагора. Это доказательство нечасто можно увидеть за пределами бакалавриата по геометрии. Кэтрин взялась за доказательство без предварительной бакалаврской работы по геометрии.Она постаралась понять материал, а затем представила его логически и математически. Ее объяснения демонстрируют полное понимание математических концепций, они подробны и ясны. Она использует сложные и изощренные математические рассуждения. Она правильно использует терминологию и обозначения в своей статье (в которой много обозначений). Ее статья представляет собой самостоятельную, математически простую для понимания (для тех, у кого есть некоторый опыт чтения доказательств) и логическое развитие доказательства Евклида теоремы Пифагора.

— Венди Вебер

1. Аннотация

В этой статье делается попытка доказать важную теорему из «Элементов» Евклида: доказательство Евклидом теоремы Пифагора. Статья начинается с введения в Elements и их истории. Затем в статье устанавливаются некоторые основополагающие принципы доказательств Евклида: определения, постулаты и общепринятые понятия. Затем он перечисляет и объясняет некоторые из более ранних предложений, которые необходимы для завершения последующих доказательств.Затем доказывается предложение I.47, теорема Пифагора, а затем предложение I.48, обратное к нему.

2. Введение

Одно из величайших математических произведений — «Элементы» Евклида; Автор Уильям Данэм утверждает, что из всех когда-либо написанных книг «только Библия подверглась более тщательной проверке» (30). Элементы содержат 465 предложений в 13 книгах, охватывающих темы как геометрии, так и теории чисел. Следует отметить, что большинство теорем изначально не были работой Евклида, но он собрал работы других и представил их «ясно, организованно и логично» (Данхэм 31).Одним из этих предложений было доказательство Евклидом теоремы Пифагора. Евклид не был первым, кто это доказал, но этот постулат, в отличие от многих других, был полностью его собственной работой. Были опубликованы сотни доказательств теоремы Пифагора (Колпас), но Евклид был уникальным как по своему подходу, так и по своей организации, как и остальные элементы. Написанные в 300 г. до н.э., «Элементы Евклида» остаются, пожалуй, самым важным текстом по математике.

3. Постулаты и общепринятые понятия

Евклид начал «Элементы» с 23 определений.Он определил такие вещи, как линия, прямой угол и параллельные линии: «Параллельные прямые — это прямые линии, которые находятся в одной плоскости и неограниченно образуются в обоих направлениях, но не пересекаются ни в одном из направлений» (Dunham 33). . Обратите внимание, что Евклид определил параллельные прямые как линии, которые никогда не пересекаются, а не то, что они везде равноудалены, как это часто делается.

Отсюда Евклид ввел пять постулатов. Это были самоочевидные утверждения, построенные на определениях; они не нуждались в доказательстве и были приняты как данность.Постулат 1 гласил: «[Возможно] провести прямую линию из любой точки в любую точку» (Dunham 34). Еще одним важным постулатом, использованным в его доказательстве теоремы Пифагора, был постулат 4: «Все прямые углы равны друг другу» (Dunham 35). Для любого, кто изучал геометрию, эти утверждения неоспоримы, и именно это имел в виду Евклид.

Рисунок 1: Постулат 5

Самым спорным аспектом Элементов Евклида был постулат 5. В нем говорилось: «Если прямая линия, падающая на две прямые линии, делает внутренние углы на одной стороне меньше двух прямых углов, две прямые линии, если они образуются бесконечно, пересекаются на одной стороне. та сторона, на которой углы меньше двух прямых »(Данхэм 35).Другими словами, если α + β меньше двух прямых углов, прямые AB и CD пересекаются в некоторой точке (рисунок 1). Этот постулат был гораздо более сложным и менее очевидным, чем предыдущие; многие математики считали, что это действительно теорема, и ее нельзя считать истинной. Евклид, понимая это мнение, избегал использования постулата 5 в своих предложениях. Он вообще не использовал его в первых 28 предложениях.

Следуя постулатам, Евклид ввел пять общих понятий. Как и постулаты, это были общепринятые факты, которые не нужно было доказывать; однако общие понятия носили «более общий характер, не относящийся к геометрии», в отличие от постулатов (Dunham 36).Общее понятие 1 было эквивалентом транзитивного свойства сложения: «Вещи, которые равны одному и тому же, также равны друг другу» (Dunham 36). Общее понятие 2 гласит: «Если равные прибавляются к равным, все равны» (Dunham 36). В алгебраических терминах, если a = b, то a + c = b + c.

4. Прочие предложения

Для доказательства теоремы Пифагора Евклид использовал выводы из своих более ранних доказательств. Мы рассмотрим предложения, необходимые для доказательства этой и других теорем.

: Рисунок 2: Предложение I.4

: Рисунок 3: Предложения I.13 и I.14

Предложение I.4 доказало конгруэнтность двух треугольников; это широко известно как теорема стороны-угла-стороны, или SAS. Евклид доказал, что «если два треугольника имеют две стороны и включают угол одного, соответственно, равный двум сторонам и включающий угол другого, то треугольники конгруэнтны во всех отношениях» (Dunham 39).На рисунке 2, если AC = DF, AB = DE и ∠CAB = ∠FDE, то два треугольника конгруэнтны. Это означает, что не только остальные стороны и углы совпадают, но и два треугольника имеют одинаковую площадь.

В предложении I.8 Евклид доказал другую теорему сравнения. Если у двух треугольников все три стороны одного треугольника равны всем трем сторонам другого треугольника, треугольники конгруэнтны. Это называется теоремой о боковой стороне или SSS.

Евклид показал, как построить прямую, перпендикулярную другой прямой в предложении I.11. Он показал, что эту линию можно провести из точки на линии или точки вне линии. Это предложение было одним из многих доказательств конструкции. Предложение I.14 рассматривается, когда линия прямая. В I.13 Евклид показал, что если линия CBD на рисунке 3 является прямой линией, то сумма углов ∠CBA и ∠ABD составляет два прямых угла.

Рисунок 4: Предложение I.16

Предложение I.14 обратное: если сумма ∠CBA и ∠ABD дает два прямых угла, то прямая CBD является прямой линией.Предложение I.16 гласит: «В любом треугольнике, если образована одна из сторон, внешний угол больше, чем любой из внутренних и противоположных углов» (Данхэм 41). То есть на рисунке 4 DCA больше, чем CBA или BAC. Чтобы доказать это, Евклид разделил пополам отрезок AC с линией BF, где BE = EF. Затем он нарисовал отрезок FC. Поскольку AE = EC по пополам, BE = EF по построению и ∠1 = ∠2 (поскольку вертикальные углы равны), мы видим, что ΔAEB и ΔCEF конгруэнтны согласно SAS, Постулат I.4.Ясно, что DCA больше, чем FCE, и поскольку FCE = ∠BAE, DCA больше внутреннего угла ∠BAC. С помощью аналогичного аргумента Евклид показал, что ∠DCA также больше внутреннего угла ∠CBA.

В предложении I.27 Евклид доказал, что «если прямая линия, падающая на две прямые, уравнивает чередующиеся углы друг с другом, прямые линии будут параллельны» (Dunham 44). Учитывая, что углы 1 и 2 на рисунке 5 равны, он предположил, что прямые AB и CD пересекаются в точке G, и искал противоречие.В треугольнике согласно предложению I.16 внешний угол ∠2 больше любого внутреннего угла. Однако, поскольку ∠1 = ∠2, получаем противоречие. Следовательно, прямые AB и CD никогда не пересекаются и по определению параллельны.

Рисунок 5: Предложение I.27

Еще одно доказательство конструкции дано в предложении I.31. Здесь Евклид показал, как построить прямую, параллельную данной прямой, через точку, не лежащую на данной прямой.

Рисунок 6: Предложение I.32

Предложение I.32 является хорошо известным фактом геометрии: сумма трех внутренних углов любого треугольника равна двум прямым. На рисунке 6 Евклид построил линию CE, параллельную линии BA. Следовательно, ∠1 было равно ∠4, а ∠2 было равно ∠5, как показано в предложении I.29. Итак, сумма внутренних углов ΔABC была: ∠1 + ∠2 + ∠3 = ∠4 + ∠5 + ∠3 = 2 прямых угла.

Это уравнение верно, потому что линия BCD является прямой линией, которая равна двум прямым углам согласно Предложению I.14 (Dunham 46).

В предложении I.41 Евклид доказал эквивалент уравнения A = ½bh для площади треугольника. Он показал, что если треугольник и параллелограмм имеют одно и то же основание и попадают между одними и теми же параллельными линиями (т.е. имеют одинаковую высоту), то площадь параллелограмма в два раза больше площади треугольника. На рисунке 7 треугольник и параллелограмм имеют общий сегмент базовой линии AB и находятся между параллельными линиями AB и CD. Согласно предложению I.41, площадь треугольника равна половине площади параллелограмма.

Рисунок 7: Предложение I.41

Последней теоремой, необходимой Евклиду для доказательства теоремы Пифагора, было предложение I.46. Здесь он показал, как построить квадрат из заданного отрезка прямой. Следующим предложением было его доказательство теоремы Пифагора.

5. Предложение I.47

Теорема: В прямоугольных треугольниках квадрат на стороне, образующей прямой угол, равен квадратам на сторонах, содержащих прямой угол (Dunham 48).

В отличие от типичного алгебраического понимания теоремы Пифагора как a² + b² = c², Евклид построил фактические квадраты BCED, ABFG и ACKH из сторон прямоугольного треугольника ΔABC, используя предложение I.46 (рисунок 8). Эта форма получила название «ветряная мельница», поскольку доказательство Евклида стало популярным. Евклид стремился доказать, что площадь BCED равна сумме соответствующих площадей ABFG и ACKH.

: Рисунок 8: «Ветряная мельница»

: Рисунок 9: Треугольники ΔABD и ΔFBC

Евклид использовал Предложение I.31, чтобы провести линию от AL до A параллельно линии BD. Отсюда Евклид пытался доказать, что площадь квадрата ABFG равна площади прямоугольника BDLM, а площадь квадрата ACKH равна площади прямоугольника CELM. Чтобы показать, что отрезки CA и AG находятся на одной прямой, Евклид отметил, что BAC был прямым углом по гипотезе, а ∠GAB был прямым углом по построению квадрата. Таким образом, два угла в сумме составляют два прямых угла; по предложению I.14 прямая CG является прямой.

Используя постулат 1, Евклид начертил отрезки AD и FC, образуя треугольники ΔABD и ΔFBC (рис. 9). Поскольку они являются сторонами одного квадрата, AB по построению равна FB. Точно так же BD = BC. Мы видим, что: ∠ABD = ∠ABC + ∠CBD = ∠ABC + (прямой угол)

Аналогично ∠FBC = ∠ABC + ∠FBA = ∠ABC + (прямой угол)

Следовательно, согласно Постулату 4, который утверждает, что все прямые углы равны: ∠ABD = ∠ABC + (прямой угол) = ∠FBC

Согласно предложению I.4, которое доказало теорему стороны-угла-стороны, ΔABD и ΔFBC конгруэнтны, поскольку AB = FB, BD = BC и ∠ABD = ∠FBC.Используя предложение I.41, Евклид заметил, что площадь ΔABD и прямоугольник BDLM разделяет сегмент базовой линии BD и попадает между параллельными линиями BD и AL. Таким образом, Площадь (прямоугольник BDLM) = 2 Площадь (ΔABD)

Точно так же ΔFBC и квадратный ABFG имеют общий сегмент базовой линии BF и находятся между параллельными линиями BF и CG, поскольку мы показали, что CG действительно является прямой линией. Итак, Площадь (квадрат ABFG) = 2 Площадь (ΔFBC)

Мы уже показали, что ΔABD и ΔFBC совпадают по SAS, поэтому мы можем сделать вывод: Площадь (прямоугольник BDLM) = 2 Площадь (ΔABD) = 2 Площадь (ΔFBC) = Площадь (квадрат ABFG)

Следовательно, Площадь (прямоугольник BDLM) = Площадь (квадрат ABFG)

Рисунок 10: Треугольники ΔACE и ΔKCB

Евклид был наполовину закончен со своим доказательством.Затем он применил аналогичный метод, чтобы показать, что площадь квадрата ACKH равна площади прямоугольника CELM. Он нарисовал отрезки AE и BK, чтобы образовать треугольники ΔACE и ΔKCB (рис. 10). Поскольку BAC является прямым углом по предположению, а CAH является прямым углом по построению, ∠BAH суммируется с двумя прямыми углами, и, согласно предложению I.14, прямая BAH является прямой линией.

Затем Евклид показал, что ΔACE соответствует ΔKCB. Стороны AC и CK являются двумя сторонами одного квадрата, поэтому их длины равны. Точно так же BC и CE равны.Затем он доказал, что KCB = ∠ACE: ∠KCB = ∠BCA + ∠ACK = ∠BCA + (прямой угол) Кроме того, ACE = ∠BCA + ∠BCE = ∠BCA + (прямой угол), следовательно, KCB = ∠BCA + (прямой угол) = ∠ACE

Поскольку ΔACE и ΔKCB имеют две стороны и их внутренние углы эквивалентны, ΔACE конгруэнтно ΔKCB по SAS.

Возвращаясь к предложению I.41, Евклид заметил, что ΔACE и прямоугольник CELM имеют общее основание CE и находятся между параллельными линиями CE и AL. Таким образом, Площадь (прямоугольник CELM) = 2 Площадь (ΔACE)

Кроме того, ΔKCB и квадрат ACKH имеют общее основание CK и находятся между параллельными линиями CK и BH, поскольку мы уже доказали, что линия BH является прямой линией.Таким образом, Площадь (квадрат ACKH) = 2 Площадь (ΔKCB)

Поскольку ΔKCB и ΔACE совпадают, их площади равны: Площадь (прямоугольник CELM) = 2 Площадь (ΔACE) = 2 Площадь (ΔKCB) = Площадь (квадрат ACKH)

Следовательно, Площадь (прямоугольник CELM) = Площадь (квадрат ACKH)

Наконец, поскольку Площадь (квадрат BCED) = Площадь (прямоугольник BDLM) + Площадь (прямоугольник CELM)

по построению, мы имеем: Площадь (квадрат BCED) = Площадь (прямоугольник BDLM) + Площадь (прямоугольник CELM) = Площадь (квадрат ABFG) + Площадь (квадрат ACKH)

Итак, мы видим, что площадь квадрата на стороне, противоположной прямому углу, равна сумме площадей квадратов на двух других сторонах.Доказательство Евклида завершено.

6. Предложение I.48

Хотя теорема Пифагора хорошо известна, мало кто знаком с доказательством ее обращения. Евклид немедленно последовал предложению I.47 с доказательством обратной теоремы Пифагора в I.48.

Рисунок 11: Предложение I.48

Теорема: Если в треугольнике квадрат на одной из сторон равен квадратам на оставшихся двух сторонах треугольника, угол между оставшимися двумя сторонами треугольника будет прямым.

Исходя из гипотезы, Евклид построил ΔABC, приняв BC² = AB² + AC² (рисунок 11). Затем он показал, что BAC был прямым углом. Он провел отрезок AE, перпендикулярный AC, используя предложение I.11. Затем он построил AD = AB и соединил D с C отрезком CD. Теперь у него было два треугольника: ΔBAC и ΔDAC.

Треугольники имеют общую сторону AC, и AD = AB по построению. Поскольку отрезки AC и AE перпендикулярны, ∠DAC должен быть прямым углом. По теореме Пифагора CD² = AD² + AC²

Замена AD = AB, CD² = AD² + AC² = AB² + AC²

Согласно нашей гипотезе, CD² = AB² + AC² = BC²

Поскольку CD² = BC², CD должен быть равен BC.Поскольку все три стороны равны по длине, ΔBAC и ΔDAC конгруэнтны согласно SSS, предложение I.8. Но если они совпадают, то ∠DAC = ∠BAC, поэтому ∠BAC должен быть прямым углом. Таким образом, доказано обратное к теореме Пифагора.

7. Заключение

Доказательство Евклида теоремы Пифагора — только одно из 465 доказательств, включенных в Elements. В отличие от многих других доказательств в его книге, этот метод, вероятно, был его собственной работой. Его доказательство уникально по своей организации, в нем используются только определения, постулаты и утверждения, истинность которых он уже доказал.Доказательство Евклида использует геометрический подход, а не алгебраический; обычно теорема Пифагора рассматривается в терминах a² + b² = c², а не в виде реальных квадратов. Другие предложения в «Элементах» содержат тот же уровень организации, ясности и изобретательности, что и предложения I.47 и I.48. «Элементы Евклида» — это математический шедевр, заслуживающий пристального внимания.

Цитируемых работ

Данэм, Уильям. «Доказательство Евклида теоремы Пифагора». Путешествие сквозь гений: Великие теоремы математики.Нью-Йорк: Wiley Science Editions, 1990. 27-60. Распечатать.

Колпас, Сид Дж. «Математическое сокровище: доказательство теоремы Пифагора Джеймсом А. Гарфилдом». Математическая ассоциация Америки.
Математическая ассоциация Америки, 2016. Web. 9 апреля 2017.

Математика само доказывает свою непротиворечивость (вопреки Гёделю и др.)

Проблема согласованности поднималась во многих сообщениях LtU.

Некоторых читателей может заинтересовать следующий отрывок из математики, который само доказывает свою непротиворечивость:

                   Математика доказывает свою непротиворечивость
                          (в отличие от Gödel et.др.)

                             Карл Хьюитт
                         http://carlhewitt.info

То, что математика считается последовательной, оправдывает использование доказательства от противоречия.
Кроме того, Доказательство от противоречия можно использовать для вывода о непротиворечивости математических расчетов.
следующим простым доказательством:
   Само-доказательство - это доказательство от противоречия.
     Предположим, что мы пришли к противоречию, что математика непоследовательна.
     Тогда существует некоторое предложение Ψ такое, что ⊢Ψ и ⊢¬Ψ¦.
     Следовательно, и Ψ, и ¬Ψ являются теоремами
     что может быть использовано в доказательстве для получения немедленного противоречия.Следовательно, математика последовательна.
Приведенная выше теорема означает, что предположение о непротиворечивости
глубоко укоренился в структуре классической математики.

Приведенное выше доказательство непротиворечивости выполнено в Direct Logic [Hewitt 2010].
(мощная система вывода, в которой теории могут рассуждать о своих выводах).
Наличие такой мощной системы, как Direct Logic, важно в информатике.
потому что компьютеры должны уметь делать все выводы
(включая выводы об их собственных процессах вывода)
без вмешательства человека.Само доказывающая последовательность повышает вероятность того, что математика может быть непоследовательной.
из-за противоречия с результатом Gödel et. al. что
если математика непротиворечива, то она не может сделать вывод о собственной непротиворечивости.
Резолюция не допускает самореференциальных предложений.
которые используются в доказательстве Gödel et. al.
что математика не может самостоятельно доказать свою непротиворечивость.
Это ограничение может быть достигнуто с помощью теории типов.
в правилах для предложений
так что самореферентные предложения не могут быть построены
потому что неподвижных точек не существует.К счастью, суждения со ссылками на самих себя
похоже, не имеют каких-либо важных практических приложений.
(Существует очень слабая теория, называемая логикой доказуемости.
который использовался для самореферентных суждений, закодированных как целые числа,
но он недостаточно силен для целей информатики.)
Важно отметить, что запрет на самореференционные предложения
не накладывает ограничений на рекурсию в вычислениях,
например, модель акторов, нетипизированное лямбда-исчисление и т. д.

Само-доказательство непротиворечивости в этой статье
интуитивно не увеличивает нашу уверенность в последовательности математики.Чтобы получить интуитивно удовлетворительное доказательство согласованности,
может потребоваться использование устойчивой логики несогласованности
(что исключает использование доказательства от противного, исключенного середины и т. д.).
Существующие доказательства непротиворечивости содержательных фрагментов математики
(например, [Gentzen 1936] и т. д.) не являются устойчивыми к несогласованности.

Математическая теория - это расширение математики
доказательства которых перечислимы в вычислительном отношении.
Например, теория групп получается
добавив аксиомы групп в Direct Logic.Если математическая теория T непротиворечива,
тогда это логически неразрешимо,
т.е. существует предложение Ψ такое, что
¬⊢ _T Ψ и ¬⊢ _T ¬Ψ,
(что иногда называют неполнотой)
поскольку доказуемость в T
вычислительно неразрешима [Church 1936, Turing 1936].

Информационная инвариантность - это
фундаментальная техническая цель логики, состоящая в следующем:
  1. Обоснованность вывода: информация не увеличивается с помощью умозаключений.
  2. Полнота вывода: можно вывести всю необходимую информацию.
Direct Logic стремится к информационной инвариантности
даже если информация противоречива
с использованием робастного вывода о несогласованности.Но эта математика неразрешима логическим выводом (неполная)
относительно ¬ выше
не означает неполноту
относительно информации, которая может быть выведена
потому что математически доказуемо, что ¬⊢ _T Ψ и ¬⊢ _T ¬Ψ.

Полный текст статьи опубликован по следующему адресу:
Математика доказывает свою непротиворечивость

Профессор, решивший Великую теорему Ферма, получает премию Абеля по математике: двусторонний подход: NPR

Профессор математики Эндрю Уайлс получил приз за решение Великой теоремы Ферма.Он видел здесь проблему, написанную на классной доске в его офисе в Принстоне, штат Нью-Джерси, еще в 1998 году. Чарльз Рекс Арбогаст / AP скрыть подпись

переключить подпись Чарльз Рекс Арбогаст / AP

Профессор математики Эндрю Уайлс получил приз за решение Великой теоремы Ферма.Он видел здесь проблему, написанную на доске в его офисе в Принстоне, штат Нью-Джерси, еще в 1998 году.

Чарльз Рекс Арбогаст / AP

Математическая задача, которую он решил, существовала с 1637 года — и он впервые прочитал о ней, когда ему было всего 10 лет. На этой неделе 62-летний британский профессор Эндрю Уайлс получил престижное признание за свой подвиг, получив премию Абеля Норвежской академии наук и литературы за доказательство Великой теоремы Ферма.

В настоящее время профессор Оксфордского университета, Уайлс работал в Принстонском университете в 1994 году, когда разработал доказательство теоремы, которая веками мучила математиков. Как отмечает сегодня Принстон, Уайлс потратил годы на решение этой проблемы, в конечном итоге разработав окончательное доказательство с бывшим студентом Ричардом Тейлором.

Абелевскую премию иногда называют «Нобелевской премией по математике». Норвежская академия утверждает, что победил Уайлс «за его потрясающее доказательство Великой теоремы Ферма с помощью гипотезы модульности для полустабильных эллиптических кривых, открывшее новую эру в теории чисел.«

Академия также пересмотрела историю тесной связи Уайлса с известной математической задачей:

» В 1963 году, когда он был десятилетним мальчиком и рос в Кембридже, Англия, Уайлс нашел копию книга о Великой теореме Ферма в его местной библиотеке. Уайлс вспоминает, что его заинтриговала проблема, которую он, будучи маленьким мальчиком, мог понять, и тем не менее, она оставалась нерешенной в течение трехсот лет. «С того момента я знал, что никогда не позволю этому уйти», — сказал он. «Я должен был решить это.'»

Уайлс был далеко не первым, кто был очарован Великой теоремой Ферма: проблема также дала свое имя бестселлеру 1996 года Амира Акзеля, который рассказал, что проблема, описанная Ферма, также имеет корни в древнем Вавилоне.

Из рецензии на эту книгу в The New York Times в 1996 году:

«В 1637 году, просматривая Диофанта, историческое значение которого подчеркивается г-ном Акзелем, [Пьер де] Ферма, очевидно, имел одну из тех вспышек глубокого понимание, которое произвело исторический скачок в области чистой математики.Все знали, что можно разбить число в квадрате на две составляющие в квадрате, поскольку 5 в квадрате равно 3 в квадрате плюс 4 в квадрате (или 25 = 9 + 16). Ферма увидел, что это невозможно сделать с любым числом, возведенным в степень, превышающую 2. Иными словами, формула [x ⁿ + y ⁿ = z ⁿ] не имеет целочисленного решения, когда n больше 2.
»Ферма написал фразу, которая с тех пор мучила математиков:« Я обнаружил поистине изумительное доказательство этого, которое, однако, недостаточно велико, чтобы вместить.Захороненное сокровище, которое искали все эти столетия, является доказательством того, что, по словам Ферма, он обнаружил, но у него не было места для размещения. Фактически, когда мистер Уайлс, наконец, доказал, что теорема верна, он использовал методы, которые не могли быть известны Ферма, поэтому неизвестно, действительно ли у мыслителя 17 века было решение своей проблемы ».

Премия Абеля присуждается денежной премией в размере 6 миллионов норвежских крон — около 715 000 долларов по сегодняшнему обменному курсу. Уайлс официально получит приз от наследного принца Норвегии Хокона 24 мая в Осло.

Теорема | Encyclopedia.com

Историческая справка

Характеристики теоремы

Ресурсы

Теорема (термин происходит от греческой теоремы , , что означает Я смотрю на ), обозначает либо утверждение, которое еще предстоит доказать, либо предложение оказалось верным на основе общепринятых результатов в некоторой области математики. Со времен древних греков доказанные теоремы составляли основу математики.Возможно, самой известной из всех теорем является теорема Пифагора, созданная греческим математиком и философом Пифагором Самосским (ок. 582 – ок. 507 до н. Э.).

Математики разрабатывают новые теоремы, предлагая предложения, основанные на опыте и наблюдениях, которые кажутся верными. Эти первоначальные утверждения получают статус теоремы только тогда, когда их правильность доказывается логическим выводом. Следовательно, существует много утверждений, которые считаются правильными, но не являются теоремами, потому что их нельзя доказать, используя только дедуктивные рассуждения.

Понятие теоремы впервые использовали древние греки. Для вывода новых теорем греческие математики использовали логический вывод из предпосылок, которые они считали самоочевидными истинами. Поскольку теоремы были прямым результатом дедуктивных рассуждений, которые приводят к бесспорно верным выводам, они полагали, что их теоремы несомненно верны. Ранний математик и философ Фалес (640–546 до н.э.) предложил множество ранних теорем, и ему обычно приписывают начало традиции строгого логического доказательства до всеобщего признания теоремы.Первый крупный сборник математических теорем был разработан греческим математиком Евклидом Александровским (ок. 325 – ок. 265 г. до н.э.) около 300 г. до н.э. в книге под названием The Elements .

Абсолютная истинность теорем принималась с готовностью вплоть до восемнадцатого века. В это время математики, такие как Карл Фридрих Гаусс (1777–1855), начали понимать, что все теоремы, предложенные Евклидом, могут быть получены с использованием набора различных предпосылок и что последовательная неевклидова структура теорем может быть происходит из евклидовых посылок.Затем стало очевидно, что исходные посылки, использованные для разработки теорем, не были самоочевидными истинами. Фактически, это были выводы, основанные на опыте и наблюдениях — и не обязательно верные. В свете этих свидетельств теоремы больше не считаются абсолютно истинными. Они описываются как правильные или неправильные только на основании исходных предположений.

Исходные посылки, на которых основаны все теоремы, называются аксиомами. Аксиома или постулат — это базовый факт, не подлежащий формальному доказательству.Например, утверждение, что существует бесконечное количество четных целых чисел, является простой аксиомой. Другой заключается в том, что две точки можно соединить в линию. При разработке теоремы математики выбирают аксиомы, которые, исходя из их опыта, кажутся наиболее надежными. Таким образом они могут быть уверены, что теоремы доказаны настолько близко к истине, насколько это возможно. Однако абсолютная истина невозможна, потому что аксиомы не совсем верны.

Для разработки теорем математики также используют определения.Определения выражают значение длинных понятий одним словом или фразой. Таким образом, когда люди говорят о фигуре, образованной набором всех точек, находящихся на определенном расстоянии от центральной точки, можно просто использовать слово круг .

См. Также Символьная логика.

КЛЮЧЕВЫЕ УСЛОВИЯ

Axiom —Основное утверждение факта, которое считается истинным и не подлежит доказыванию.

Дедуктивное рассуждение — тип логических рассуждений, который приводит к выводам, которые, несомненно, верны, если верны исходные предположения.

Определение — Отдельное слово или фраза, в которой говорится о длинном понятии.

Теорема Пифагора — Идея, предполагающая, что сумма квадратов сторон прямоугольного треугольника равна квадрату гипотенузы. Он используется для определения расстояния между двумя точками.

КНИГИ

Бертон, Дэвид М. История математики: введение . Нью-Йорк: Макгроу-Хилл, 2007.

Данэм, Уильям. Путешествие сквозь гений: великие математические теоремы .Нью-Йорк: Wiley, 1990.

Kline, Morris. Математика для нематематика . Нью-Йорк: Довер, 1967.

Ллойд Г. Э. Р. Ранняя греческая наука: от Фалеса до Аристотеля . Нью-Йорк: W. W. Norton, 1970.

Newman, James R., ed. Мир математики . Нью-Йорк: Саймон и Шустер, 1956.

Паулос, Джон Аллен. Не знай нумерации . Нью-Йорк: Кнопф, 1991.

Сетек, Уильям М. Основы математики .Река Аппер Сэдл, Нью-Джерси: Пирсон Прентис Холл, 2005.

Солоу, Дэниел. Как читать и делать доказательства: Введение в процессы математического мышления . Нью-Йорк: Wiley, 2002.

Сандстрем, Теодор А. Математическое мышление: написание и доказательство . Река Аппер Сэдл, Нью-Джерси: Прентис Холл, 2003.

Perry Romanowski

Новое доказательство теоремы о расширении Барвайза без бесконечной логики

Я нашел новое доказательство теоремы о расширении Барвайза, этого замечательного, но причудливого результата классической теории допустимых множеств, который гласит, что любую счетную модель теории множеств можно расширить до модели $ \ text {ZFC} + V = L $.

Теорема Барвайса о продолжении. (Barwise 1971) $ \ newcommand \ ZF {\ text {ZF}} \ newcommand \ ZFC {\ text {ZFC}} $ Каждая счетная модель теории множеств $ M \ models \ ZF $ имеет конец-расширение модели из $ \ ZFC + V = L $.

Теорема Барвайза о расширении является как (i) технической кульминацией новаторских методов Барвайза в теории допустимых множеств и бесконечной логики, включая теоремы Барвайза о компактности и полноте и допустимом покрытии, так и (ii) одной из тех редких математических теорем это имеет большое значение для философии математики и особенно для философии теории множеств.Я подробно обсуждал теорему и ее философское значение в своей статье «Мультивселенная перспектива на аксиому конструктивности», где я утверждал, что она может изменить то, как мы смотрим на аксиому конструктивности, и следует ли считать эту аксиому «ограничивающей», поскольку это часто относится к теории множеств. В конечном итоге теорема Барвайза о расширении показывает, насколько ошибочной может быть модель теории множеств, если мы должны принять идею о том, что теоретико-множественная вселенная продолжает расширяться за ее пределы. 1_1 $ с хорошо обоснованными деревьями, теоремы Леви и Шенфилда об абсолютности, теоремы отражения и теоремы Кейслера-Морли об элементарных расширениях с помощью определяемые сверхспособности.Как и в случае с доказательством Барвайса, мое доказательство разбивается на случаи в зависимости от того, является ли модель $ M $ стандартной или нестандартной, но еще одна интересная особенность заключается в том, что с моим доказательством проще использовать $ \ omega $ -нестандартный случай, тогда как с доказательством Барвайса транзитивный случай был самым простым, поскольку нужно было прибегать к допустимому покрытию только тогда, когда $ M $ было необоснованным. Барвайз разделяет случаи на хорошо обоснованные / необоснованные, тогда как в моем аргументе эти случаи являются $ \ omega $ -стандартными / $ \ omega $ -нестандартными.M b $.

Теория множеств, конечно же, изобилует примерами конечных расширений. Например, сегменты начального ранга $ V_ \ alpha $ end-расширяются до своих более высоких экземпляров $ V_ \ beta $, когда $ \ alpha <\ beta $; аналогично, иерархия конструируемого универсума $ L_ \ alpha \ substeq L_ \ beta $ является конечным расширением; действительно, любое транзитивное множество end-распространяется на все его надмножества. M $.У M $ есть такие концевые расширения, в которых они счетны, поскольку $ W $ является таким концевым расширением. $ \ Box $

Например, мы можем сделать следующие дополнительные примеры.

Следствия.

Каждая счетная модель $ M $ из $ \ ZFC $ с измеримым кардиналом имеет концевое расширение до модели $ N $ из $ \ ZFC + V = L [\ mu] $.
Каждая счетная модель $ M $ в $ \ ZFC $ с большими кардиналами на основе расширителя имеет концевое расширение до модели $ N $, удовлетворяющей $ \ ZFC + V = L [\ vec E] $.
Каждая счетная модель $ M $ из $ \ ZFC $ с бесконечным числом кардиналов Вудена имеет концевое расширение до модели $ N $ из $ \ ZF + \ text {AD} + V = L (\ mathbb {R}) $.

И в каждом случае мы можем, кроме того, сделать так, чтобы каждый набор $ M $ был счетным в модели расширения $ N $.

Это доказательство выросло из проекта $ \ Sigma_1 $ -определимого универсального конечного множества, которым я сейчас занимаюсь вместе с Камерином Уильямсом и Филипом Уэлчем.

Джон Барвайз. Бесконечные методы в модельной теории теории множеств.In Logic
Colloquium ’69 (Proc. Summer School and Colloq., Манчестер, 1969), стр.
53–66. Северная Голландия, Амстердам, 1971.

404 не найдено

Запрошенный URL /~sbuss/researchweb/godelone/index.html не найден на этом сервере.

Наиболее частые причины этой ошибки:

Вы неправильно ввели URL-адрес, к которому вы пытаетесь получить доступ. Тщательно проверьте орфографию, пунктуацию и чувствительность к регистру URL-адреса и повторите попытку.
Файл или каталог, к которому вы пытаетесь получить доступ, больше не существует или был перемещен в другое место.

Если вам нужна помощь в разрешении этой проблемы, обратитесь к владельцу веб-страницы или веб-мастеру, как описано ниже.

Информацию о веб-сайтах класса см. В списке веб-сайтов класса по адресу http://www.math.ucsd.edu/resources/course-websites/.

Для других веб-страниц, пожалуйста, начните с веб-сайта верхнего уровня математического факультета UCSD по адресу http://www.math.ucsd.edu/.

Чтобы связаться с администраторами веб-сервера, отправьте электронное письмо по адресу вебмастер @ math.ucsd.edu.

Чтобы мы могли должным образом устранить проблему, включите:

Точный URL-адрес, который вы пытаетесь получить, указан в вашем веб-браузере:
REQUEST_URI = http://www.math.ucsd.edu/~sbuss/researchweb/godelone/index.html
Предыдущая ссылающаяся веб-страница или ссылка, которая привела вас на этот URL:
HTTP_REFERER = (нет)
Полное имя используемого вами веб-браузера, включая номер его версии:
HTTP_USER_AGENT = Mozilla / 5.0 (X11; Linux x86_64; rv: 33.0) Gecko / 20100101 Firefox / 33.0
Любые сообщения об ошибках или подробное описание возникшей проблемы.
Название вашей операционной системы, включая номер ее версии.
Текущий IP-адрес или имя хоста вашего компьютера:
REMOTE_ADDR (REMOTE_HOST) = 85.140.5.78 (78.mtsnet.ru)
Точная дата и время, когда вы столкнулись с проблемой:
DATE_LOCAL = пятница, 22 октября 2021 года, 20:00:53 PDT

Спасибо!

Математическое сокровище: Джеймс А.Доказательство теоремы Пифагора Гарфилдом

Рис. 1. Carte de visite (CDV) или визитная карточка с фотографией (сделанной W. D. Gates & Co.) Джеймса А. Гарфилда около 1881 года из коллекции автора. CDV были популярны в то время. Показанная здесь карта была изготовлена после смерти Гарфилда в 1881 году, предположительно как памятный сувенир. В то время были также популярны похожие, но более крупные CDV.

Краткая биография

Джеймс А. Гарфилд (1831–1881) был двадцатым президентом Соединенных Штатов. После того, как он окончил Уильямс-колледж в 1856 году, он преподавал греческий, латынь, математику, историю, философию и риторику в Western Reserve Eclectic Institute, ныне Hiram College, в Хираме, штат Огайо, частном институте гуманитарных наук. Помимо преподавания, он также занимался юридической практикой, был бригадным генералом во время Гражданской войны, был президентом Западного резерва и был избран в U.С. Конгресс.

Гарфилд был открыт 4 марта 1881 года. Он был популярным президентом, поддерживавшим процесс пребывания на государственной службе. Он был последним из семи президентов, родившихся в бревенчатой хижине, и первым президентом, который остался левшой. Он был обоюдоострым и, как известно, развлекал друзей тем, что одновременно писал одной рукой на латыни, а другой — на греческом. Президент Гарфилд был убит выстрелом в спину 2 июля 1881 года Чарльзом Гито, которому Гарфилд отказал в просьбе о приеме на работу в правительстве.Александр Грэм Белл сконструировал электрический зонд, чтобы найти пулю, застрявшую в позвоночнике Гарфилда (подробности см. В примечании ), но после нескольких недель страданий 19 сентября 1881 года Гарфилд умер от инфекции и заражения крови. убили его, но нестерилизованные руки и оборудование врачей.

Гарфилд внес оригинальное доказательство теоремы Пифагора в сотни, записанные на протяжении веков. Хранилище оригинальных доказательств теоремы Пифагора см. В книге Элиша Лумиса «Предложение Пифагора». Гарфилд разработал свое доказательство в 1876 году, будучи членом Конгресса; Это был год, когда Александр Грэм Белл разработал телефон. Это «очень красивое доказательство теоремы Пифагора», как его описал Говард Ивс, было опубликовано в выпуске New-England Journal of Education от 1 апреля 1876 года. Очевидно, редактор журнала ошибочно (или, возможно, из политической шутки) назвал теорему Pons Asinorum или «Мост ослов», на самом деле прозвище теоремы о равнобедренном треугольнике (Элементы Евклида, Книга I, Предложение 5).Последняя теорема, возможно, получила свое название из-за того, что многие исследователи средневековья испытывали трудности с пониманием доказательства, диаграмма которого несколько напоминает мост, и поэтому не могли перейти через мост к последующим доказательствам в «Элементах » Евклида.

Рис. 2. Исаак Барроу Элементы Евклида (1686) из коллекции доктора Ф.Сид Колпас. Предложение 5 книги I (Евклид I-5) показано справа. Студент конца XVII века написал на полях: «Мост ослов» (сейчас он очень выцветший, выделен розовым).

Доказательство теоремы Пифагора Гарфилдом по существу состоит из диаграммы трапеции с основаниями \ (a \) и \ (b \) и высотой \ (a + b. \). Он смотрел на площадь диаграммы двумя разными способами. : как у трапеции и как у трех прямоугольных треугольников, два из которых конгруэнтны.

Доказательство Гарфилда

Рисунок 3. С титульного листа New-England Journal of Education (Том 3, № 14, 1 апреля 1876 г.) (изображение из Google Книги)

Рис. 4. Доказательство теоремы Пифагора Гарфилдом на странице 161 журнала New-England Journal of Education, 1 апреля 1876 г. (изображение из Google Книги)

Модернизированная версия доказательства Гарфилда из авторской книги Теорема Пифагора: восемь классических доказательств следует.

Рисунок 5. Современная диаграмма, иллюстрирующая доказательство Гарфилда (из авторской книги Теорема Пифагора: восемь классических доказательств )

Далее следует более подробная версия приведенного выше доказательства.

Начните с прямоугольного треугольника с катетами \ (a \) и \ (b \) и гипотенузой \ (c. \)
Вытяните ногу \ (a \) на единицы \ (b \) и постройте дублирующий прямоугольный треугольник вдоль этого расширения.
Верхняя нога \ (a \) параллельна исходной ноге \ (b \), поскольку на плоскости, если линия перпендикулярна каждой из двух прямых, то две прямые параллельны.
Нарисуйте сегмент XY, чтобы закрыть фигуру.
Получившийся четырехугольник представляет собой трапецию с основаниями \ (a \) и \ (b \) и высотой \ (a + b. \)
Трапеция состоит из двух равных прямоугольных треугольников и прямоугольного треугольника XYZ. Треугольник XYZ равнобедренный, так как две его стороны имеют длину \ (c. \). Угол XZY — прямой угол, так как угол 1 + угол XZY + угол 2 = 180 ^o и угол 1 + угол 2 = 90 ^o. (Острые углы прямоугольного треугольника дополняют друг друга.)
Следовательно, площадь трапеции равна сумме площадей трех прямоугольных треугольников, из которых она составлена, два из которых совпадают.
Выражая это соотношение алгебраически:

Площадь трапеции	\ (= \)	\ (2 \, \) (площадь разностороннего прямоугольного треугольника)	\ (+ \)	площадь равнобедренного прямоугольного треугольника
\ (\ frac {1} {2} (a + b) (a + b) \)	\ (= \)	\ (2 \ left (\ frac {1} {2} ab \ right) \)	\ (+ \)	\ (\ frac {1} {2} c ^ 2 \)
\ ((a + b) (a + b) \)	\ (= \)	\ (\, \, \, \, 2ab \)	\ (+ \)	\ (\, \, с ^ 2 \)
\ (а ^ 2 + 2ab + b ^ 2 \)	\ (= \)	\ (\, \, \, \, 2ab \)	\ (+ \)	\ (\, \, с ^ 2 \)
\ (a ^ 2 \, \, \, \, + \, \, \, \, b ^ 2 \)	\ (= \)			\ (\, \, с ^ 2 \)

Примечание: Фильм PBS «Убийство президента» изображает врача, который наблюдал за Гарфилдом, как настаивающего на том, чтобы провести электронное устройство Александра Грэма Белла над животом самого Гарфилда, к большому неудовольствию Белла.Согласно программе, врач провел им только по правой стороне Гарфилда, настаивая на том, что пуля должна быть там. Оказалось, что пуля была на его левом боку, ближе к точке попадания. К тому времени безудержная инфекция охватила тело Гарфилда. Вернуться к биографии Гарфилда.

Список литературы

Кеннет Д. Акерман. Темная лошадка: неожиданные выборы и политическое убийство президента Джеймса А. Гарфилда. New York: Carroll & Graf Publishers, 2003 (теперь доступно из Viral History Press, Falls Church, Virginia, 2011).

Говард Ивс. Великие моменты в математике (до 1650 г.). Вашингтон, округ Колумбия: Математическая ассоциация Америки, 1983.

Джейн К. Финн. Малоизвестные факты о президентах США. Лэнхэм, Мэриленд: Rowman and Littlefield Publishing Group, 2016.

Джеймс А. Гарфилд. «Pons Asinorum». Журнал образования Новой Англии, Vol. 3, № 14, стр. 161. Бостон, Массачусетс: 1 апреля 1876 г. Доступно в Google Книгах.)

Дж. Л.Хейльброн. «Мост ослов». Британская энциклопедия. http://www.britannica.com/topic/The-Bridge-of-Asses

Сидней Дж. Колпас. Теорема Пифагора: восемь классических доказательств. Пало-Альто, Калифорния: Dale Seymour Publications, 1992 (все права принадлежат автору с 2011 года).

Элиша С. Лумис. Предложение Пифагора. Рестон, Вирджиния: Национальный совет учителей математики, 1968.

Джеймс Д. МакКейб. Наш мученик Президент.Жизнь и общественные службы генерала Джеймса А. Гарфилда. Филадельфия, Пенсильвания: National Publishing Company, 1881.

Роб Рэпли (режиссер, сопродюсер, автор телескриптов). «Убийство президента» в телесериале American Experience . PBS: первый эфир 2 февраля 2016 г. http://www.pbs.org/wgbh/americanexperience/films/garfield/

Указатель математических сокровищ

Теорема не требующая доказательств: ТЕОРЕМА — это… Что такое ТЕОРЕМА?

ТЕОРЕМА — это… Что такое ТЕОРЕМА?

Что такое Аксиома и Теорема? Определение, примеры, доказательства.

Понятие аксиомы

Понятие теоремы

Доказательство через синтез

Доказательство через анализ

Теоремы без доказательств

Понятия свойств и признаков

Что такое «теорема без доказательства 7 букв

Ответы на сканворды и кроссворды

Похожие вопросы в сканвордах

Похожие ответы в сканвордах

Разница между аксиомой и теоремой

Аксиомы не доказываются. А как насчёт обосновываются?

Почему аксиома не требует доказательства? – ПОЧЕМУХА.РУ ответы на вопросы.

«А если не получится?»: как побороть страх неуверенности в своих силах?

Доказательство теоремы Пифагора Евклидом — Написание антологии

Доказательство теоремы Пифагора Евклидом

Кэтрин Лоу ’18

Цитируемых работ

Математика само доказывает свою непротиворечивость (вопреки Гёделю и др.)

Профессор, решивший Великую теорему Ферма, получает премию Абеля по математике: двусторонний подход: NPR

Теорема | Encyclopedia.com

КЛЮЧЕВЫЕ УСЛОВИЯ

КНИГИ

Новое доказательство теоремы о расширении Барвайза без бесконечной логики

404 не найдено

Математическое сокровище: Джеймс А.Доказательство теоремы Пифагора Гарфилдом

Краткая биография

Доказательство Гарфилда

Список литературы

Leave a Reply Отменить ответ